После окончания университета в 1972 году Владимир начал работать в Харьковском ТЮЗе, а на следующий год, переехав в Москву – в Московском академическом драматическом театре им. Моссовета. Спустя ещё год, Конкин становится актёром киностудии им. А.П. Довженко, хотя уже в 1973 году снимается на этой киностудии в телевизионном фильме «Как закалялась сталь» по роману Н.А. Островского, исполняя главную роль -- Павла Корчагина.
Эта роль по-настоящему сделала Владимира Конкина известным и популярным. Образ главного героя, созданный им, отличался от тех, которые создавались в кино и театре ранее. И внешний вид, и голос, и манера исполнения придавали Корчагину в исполнении Конкина лирико-романтические оттенки и делали его в определённом смысле интеллигентным. Эта роль в 1974 году сделала Владимира Алексеевича лауреатом премии Ленинского Комсомола и принесла ему почётное звание Заслуженного артиста Украинской ССР.
Через несколько лет Владимир Конкин играет главную роль в художественном фильме Леонида Быкова «Аты-баты, шли солдаты…». На экране перед зрителем предстаёт романтический, но невероятно пронзительный образ главного героя – младшего лейтенанта Суслина. Эта трогательная до боли картина стала последней режиссёрской и актёрской работой Леонида Быкова. Для Владимира Конкина она стала второй знаковой ролью.
В 1978 году режиссёр Станислав Говорухин пригласил Конкина на роль Владимира Шарапова в пятисерийную киноленту «Место встречи изменить нельзя», где актёр сыграл одну из двух главных ролей (вторую исполнил Владимир Высоцкий). Успех картины был невероятным, а фамилия актёра прочно стала ассоциироваться с фамилией главного героя фильма – Шарапов. Позднее за эту роль Конкин получит премию МВД РФ.
В общей сложности Владимир Алексеевич снялся более, чем в 40 картинах: «Лючия ди Ламмермур», «Отцы и дети», «Благородный разбойник Владимир Дубровский», «Принцесса на бобах», «Романовы. Венценосная семья», «В круге первом» и др. Он стремился создавать разноплановые образы, как в кино, так и на театральной сцене. Именно с этим была связана и его работа во многих театрах: Московский Драматический театр им. М.Н. Ермоловой, Театр-студия Е.В. Радомысленского, Театр «Вернисаж», Театр «Содружество актёров Таганки».
Помимо работы в театре и кино Конкин активно участвовал в дубляже многих зарубежных художественных фильмов и сериалов: «Властелин колец» (2 и 3 части), «Спасти рядового Райана», «Последний самурай», «Идентификация Борна», «Дикая Роза», «К-19», «Секретные материалы», «Бэтмен возвращается» и др. Во многих из них голосом Владимира Алексеевича говорят главные герои, а также он участвовал в переозвучивании многих советских мультфильмов.
В 2009 году актёр перенёс операцию на сердце. Он перестал сниматься в кино.
Владимир Алексеевич был женат. Он прожил вместе со своей супругой Аллой 39 лет, но в 2010 году её не стало. Памяти жены он посвятил свой спектакль «Муж, жена и сыщик». В браке у актёра родилось трое детей: два сына-близнеца Ярослав и Святослав и дочь Софья. Дочь трагически погибла в 2020 году. Дети подарили Конкину пятерых внуков. Им и литературному труду он посвящает своё время.