После окончания средней школы Леонид сделал попытку поступления во ВГИК, но провалился на экзаменах. Год работы на фабрике кинооптики не прошёл для Куравлёва бесследно, и со второй попытки Леонид становится студентом ВГИКа.
Амплуа комика закрепилось за актёром с первой же большой роли — Камушкина в картине С.А. Милькиной «Мичман Панин», снятой в 1960 году. В этом же году Куравлёв окончил институт.
После ряда пусть и небольших, но очень полезных с точки зрения обучения мастерству ролей Леонид Вячеславович принимает участие в съёмках двух фильмов В.М. Шукшина: «Живет такой парень» (1964) и «Ваш сын и брат» (1965).
Здесь актёр раскрывается в двух совершенно разных ипостасях: лирической и трагической соответственно. И каждую из них Куравлёв сыграл настолько убедительно и гениально, что предложения сняться в том или ином фильме заставили актёра надолго забыть об отдыхе и покое.
Особое место в актёрской деятельности Леонида Вячеславовича занял период сотрудничества с Леонидом Гайдаем. С 1970 по 1980 годы этот тандем создал массу любимых зрителем персонажей. Особой популярности и всенародной любви Куравлёву добавила роль Жоржа Милославского в комедии «Иван Васильевич меняет профессию».
Среди других наиболее известных его киноработ — роли в картинах: «Вий», «Не может быть!», «Место встречи изменить нельзя», «Золотой телёнок», «Афоня», «Семнадцать мгновений весны», «Ищите женщину», «ТАСС уполномочен заявить…», «Трест, который лопнул», «Самая обаятельная и привлекательная», «На золотом крыльце сидели», «Гангстеры в океане», «Мастер и Маргарита», «Ширли-Мырли», «Сибирский цирюльник», «Бригада», «Книга мастеров» и других.
30 января 2022 года Леонид Вячеславович Куравлёв скончался в Москве на 86 году жизни.